บทพิสูจน์แห่งความคู่ควร

Ⅰ.

กำหนดให้ $a,\, b$ เป็นรากของสมการ $t^2 - 12t + 1 = 0$ $$\frac{a^3 + b^3}{a + b} + 2ab = \;?$$

✓

คำตอบ

Vieta's Formulas

สมการ $t^2 - pt + q = 0$ มีราก $a, b$ ดังนั้น $a+b = p$ และ $ab = q$ อ่านค่าได้ทันทีโดยไม่ต้องแก้สมการ

Identity ที่ต้องใช้

$a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$

เมื่อได้ $a+b$ และ $ab$ จาก Vieta แล้ว แทนเข้า identity เพื่อหา $a^3+b^3$ จากนั้นนิพจน์ $\dfrac{a^3+b^3}{a+b}$ ก็ลดรูปได้ง่าย

การพิสูจน์

โดย Vieta's formulas: $a+b=12,\quad ab=1$

$$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=1728-36=1692$$

\frac{1692}{12}+2(1)=141+2=\mathbf{143}

$143$

Ⅱ.

พาราโบลา $y = ax^2 + bx + k$ มีแกนสมมาตร $x = 3$ และผ่านจุด $(0,\;438)$ กับ $(3,\;465)$ $$\left|\,k \cdot a\,\right| = \;?$$

✓

คำตอบ

แกนสมมาตร หา $b$ ก่อน

แกนสมมาตรของ $ax^2+bx+k$ อยู่ที่ $x = -\dfrac{b}{2a}$ ตั้งให้เท่ากับ $3$ จะได้ $b$ ในรูปของ $a$

แทนจุดเพื่อหา $k$ และ $a$

จุด $(0, \ldots)$ พิเศษตรงที่ทุก term ที่มี $x$ หายไปหมด ทำให้หา $k$ ได้ทันที

จากนั้นแทนจุดที่สองพร้อมกับ $b$ และ $k$ ที่รู้แล้ว สมการจะเหลือ $a$ ตัวเดียว

การพิสูจน์

$-\dfrac{b}{2a}=3\Rightarrow b=-6a$

ผ่าน $(0,438)$: $k=438$ ผ่าน $(3,465)$: $-9a=27\Rightarrow a=-3$

|438\times(-3)|=\mathbf{1314}

$1314$

Ⅲ.

กำหนดให้ $f(x) = x^2 + 10x + 8001$ $$\int_0^1 f'(x)\,dx + f(1) = \;?$$

✓

คำตอบ

Fundamental Theorem of Calculus

$\displaystyle\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a)$

แปลว่าไม่ต้องหาปฏิยานุพันธ์เลย แค่แทนขอบเขตลงใน $f$ โดยตรงแล้วลบกัน

นำมาใช้กับโจทย์

แปลง $\displaystyle\int_0^1 f'(x)\,dx$ ให้อยู่ในรูป $f(1) - f(0)$ แล้วนิพจน์ทั้งหมดจะเขียนได้ในรูปของ $f(1)$ และ $f(0)$ เพียงสองค่า

การพิสูจน์

$\displaystyle\int_0^1 f'(x)\,dx=f(1)-f(0)=8012-8001=11$

11+f(1)=11+8012=\mathbf{8023}

$8023$

Ⅳ.

ให้ $x = \cos\dfrac{2\pi}{7} + \cos\dfrac{4\pi}{7} + \cos\dfrac{8\pi}{7}$ $$4x^2 + 110 = \;?$$

✓

คำตอบ

ลด $\cos\frac{8\pi}{7}$ ให้เหลือตัวที่รู้จัก

ใช้ $\cos\theta = \cos(2\pi - \theta)$ ลองแทน $\theta = \frac{8\pi}{7}$ แล้วดูว่าได้ $\cos$ ของมุมใดที่ปรากฏใน $x$ อยู่แล้ว

ผลรวมที่ต้องรู้

$\cos\dfrac{2\pi}{7}+\cos\dfrac{4\pi}{7}+\cos\dfrac{6\pi}{7} = -\dfrac{1}{2}$

ผลลัพธ์นี้มาจากการที่ผลรวม real part ของรากที่ 7 ของ 1 ทั้งหมด (ยกเว้น $1$) เท่ากับ $-1$ และคู่ที่เป็น conjugate มีค่า cosine เท่ากัน

การพิสูจน์

$\cos\frac{8\pi}{7}=\cos\frac{6\pi}{7}$ ดังนั้น $x=-\frac{1}{2}$

4\cdot\tfrac{1}{4}+110=\mathbf{111}

$111$

Ⅴ.

"เขาไม่รู้คำตอบแม้แต่ข้อเดียว แต่ก็กาทุกข้อโดยไม่ลังเล"

นักเรียนคนหนึ่งเจอข้อสอบปรนัย $50$ ข้อ $5$ ตัวเลือก ตอบถูก $+12$ คะแนน ตอบผิด $-1$ คะแนน มีโบนัสตั้งต้น $+27$ คะแนน เขาสุ่มกาทุกข้ออย่างอิสระและสม่ำเสมอ

ถ้า $S$ คือคะแนนรวมที่คาดหวัง

$$E[S] = \;?$$

✓

คำตอบ

Expected Value ของ 1 ข้อ

$E[\text{ต่อข้อ}] = \dfrac{1}{k} \cdot w + \dfrac{k-1}{k} \cdot (-p)$

โอกาสถูกเมื่อสุ่มสม่ำเสมอจาก $k$ ตัวเลือกคือ $\frac{1}{k}$ และโอกาสผิดคือ $\frac{k-1}{k}$ แทนค่า $w$, $p$, $k$ ของโจทย์เข้าไปเพื่อหา $E$ ของแต่ละข้อ

ขยายเป็น $n$ ข้อ

โดย linearity of expectation: $E[S] = n \cdot E[\text{ต่อข้อ}] + B$

คูณ $E$ ต่อข้อด้วยจำนวนข้อ แล้วบวกโบนัส

การพิสูจน์

E[S]=50\!\left(\frac{12-4\cdot1}{5}\right)+27=50\times1.6+27=\mathbf{107}

$107$

Ⅵ.

กำหนดให้ $A=\{1,2,\ldots,20\}$ $$\sum_{\substack{k\in A\\2\nmid k}}k\;-\!\sum_{\substack{k\in A\\4\mid k}}k\;+\;57 = \;?$$

✓

คำตอบ

ผลรวมจำนวนคี่

นับก่อนว่ามีจำนวนคี่กี่ตัวใน $\{1,\ldots,20\}$ แล้วใช้สูตร: ผลรวมของ $n$ จำนวนคี่แรก $= n^2$

ผลรวมที่ $4$ หารลงตัว

ระบุจำนวนที่ $4 \mid k$ ใน $A$ มีอยู่เพียงไม่กี่ตัว บวกโดยตรงได้เลย ไม่ต้องใช้สูตร

การพิสูจน์

ผลรวมจำนวนคี่ $=1+3+\cdots+19=100$

ผลรวมที่ 4 หารลงตัว $=4+8+12+16+20=60$

100-60+57=\mathbf{97}

$97$

Ⅶ.

$P(n)$ เป็นจริง $\iff$ $n$ เป็นจำนวนเฉพาะ หรือ $2\mid n$
ให้ $\mathcal{S}=\{n\in\mathbb{N}\mid 1\le n\le100,\;P(n)\}$ $$|\mathcal{S}|+33 = \;?$$

✓

คำตอบ

Inclusion-Exclusion

$P(n)$ เป็นจริงเมื่อ $n$ เป็นเฉพาะ หรือ คู่ ดังนั้นใช้:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

ระวัง: มีจำนวนที่เป็นทั้งเฉพาะและคู่พร้อมกันได้ มีอยู่กี่ตัวในช่วง $[1,100]$?

ข้อมูลที่ต้องรู้

จำนวนเฉพาะใน $[1, 100]$ มี 25 จำนวน และจำนวนคู่มี 50 จำนวน

การพิสูจน์

จำนวนเฉพาะ 25 จำนวน, คู่ 50 จำนวน, ตัดซ้ำ (2) $\Rightarrow |\mathcal{S}|=74$

74+33=\mathbf{107}

$107$

Ⅷ.

กำหนดให้ $f(x)=x^3-6x^2+9x+89$
เส้นสัมผัสของ $y=f(x)$ ที่จุด $x=2$ ตัดแกน $y$ ที่ $(0,\,c)$ $$c\;+\!\int_0^3\!f'(x)\,dx = \;?$$

✓

คำตอบ

สมการเส้นสัมผัส

เส้นสัมผัส $y = f(x)$ ที่ $x = a$ คือ $y = f'(a)(x-a) + f(a)$

คำนวณ $f(2)$ และ $f'(2)$ แล้วแทนเพื่อสร้างสมการเส้นตรง จากนั้นหาจุดตัดแกน $y$ โดยแทน $x = 0$ เพื่อได้ $c$

ส่วนอินทิกรัล

ใช้ FTC: $\displaystyle\int_0^3 f'(x)\,dx = f(3) - f(0)$ ลองคำนวณ $f(3)$ และ $f(0)$ แล้วสังเกตผลที่ได้

การพิสูจน์

$f(2)=91,\;f'(2)=-3\;\Rightarrow\; y=-3x+97\;\Rightarrow\;c=97$

\int_0^3 f'(x)\,dx=f(3)-f(0)=0\qquad\therefore\; c+0=\mathbf{97}

$97$

Ⅸ.

กำหนดให้ $I=\displaystyle\int_0^\infty\!\frac{x^3}{e^x-1}\,dx$ และ $J=\displaystyle\int_0^1\!\frac{\ln(1+x)}{x}\,dx$ $$T=\frac{90}{\pi^4}\,I+\frac{72}{\pi^2}\,J+97 = \;?$$

✓

คำตอบ

ค่าของ $I$

$I$ เป็น Bose-Einstein integral รูปมาตรฐาน: $\displaystyle\int_0^\infty \frac{x^{n-1}}{e^x-1}\,dx = \Gamma(n)\,\zeta(n)$

สำหรับโจทย์นี้ $n = 4$ → หา $\Gamma(4)$ และ $\zeta(4)$ แล้วคูณกัน

ค่าของ $J$

$J = \displaystyle\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x}\,dx$ กระจาย $\ln(1+x)$ เป็น power series แล้วอินทิเกรตทีละพจน์ จะได้ series ที่เกี่ยวกับ $\zeta(2)$

การพิสูจน์

I=\Gamma(4)\zeta(4)=\frac{\pi^4}{15},\qquad J=\frac{\pi^2}{12}

T=6+6+97=\mathbf{109}

$109$

Ⅹ.

กำหนดให้ $I_n=\displaystyle\int_0^1 x^n(1-x)^n\,dx$ และลำดับ $\{a_n\}$ นิยามโดย $$a_n=\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}\,I_n$$ $$1+\sum_{n=1}^{45}a_n = \;?$$

✓

คำตอบ

Beta Function

$B(m,n) = \displaystyle\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1}\,dx = \dfrac{(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}$

เขียน $I_n$ ในรูป $B(\ ,\ )$ โดยจับคู่ exponent กับนิยาม Beta function

สังเกต $a_n$

แทน $I_n$ ที่ได้ลงใน $a_n = \dfrac{(2n+1)!}{(n!)^2}\,I_n$ แล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น

การพิสูจน์

I_n=B(n+1,n+1)=\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}\;\Rightarrow\; a_n=1

1+45\cdot1=\mathbf{46}

$46$